Приклад 1. Знайдіть область визначення функції
у = lg(4х -1).

Розв'язання: За означенням логарифма функція в дужках має бути додатною. Звідси виписуємо умову на область визначення логарифма
4х -1>0; 4х >1;x>1/4.
Область визначення складається з одного інтервалу

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння:

1) ;

Розв'язання: Розкриваємо логарифм


Отримали лінійне рівняння відносно невідомої. Розв'язок знайти під силу кожному

2) 

Розв'язання: Основи логарифмічного рівняння рівні, тому прирівнюємо функції в дужках.


Дужки спрощуються до квадратного рівняння

За теоремою Вієта маємо наступні корені

Але не спішіть виписувати у відповідь обидва корені. Досі не перевірена область визначення логарифмів. Після перевірки

отримаємо, що лише x=9 задовільняє цю умову (є розв'язком).
Відповідь: 9.

Приклад 3. Розв'яжіть нерівність

Розв'язання: Маємо нерівність в якій з двох сторін задано логарифми. Оскільки основа 0,9 < 1, то при розкритті нерівності слід змінити знак на протилежний

До цієї умови додаємо дві умови на область визначення логарифмів та об'єднуємо їх у систему нерівностей

Перетином усіх інтервалів буде лише один  – він і є розв'язком нерівності.
Відповідь: (4;6].

Приклад 4. Обчисліть значення виразу

Розв'язання: Використовуючи ряд властивостей логарифма знаходимо значення виразу

Думаю у викладенні Вам усе зрозуміле і дані властивості Ви знаєте.
Відповідь:1.

Приклад 5. Знайдіть корені рівняння:

1) 

Розв'язання: ОДЗ x>3. Основи в логарифмів однакові, тому може згрупувати їх під один

Розкриваємо логарифм і отримуємо квадратне рівняння відносно невідомої


Воно достатньо просте тому корені знаходимо за теоремою Вієта


Область визначення відкидає один корінь і остаточно маємо x=4.
Відповідь: 4.

2) 

Розв'язання: За властивістю логарифма маємо дві умови

Також перетворимо один із доданків, використавши властивість логарфма

Логарифмічне рівняння перетвориться до вигляду

З вигляду бачимо, яку заміну слід робити
 
Помножимо на неї рівняння

та запишемо у вигляді квадратного рівняння

Його корені приймають значення

Повертаємося до заміни і знаходимо розв'язки


Кожен з них задовільняє наведені вище умови.
Відповідь: 25; 1/5.

Приклад 6. Розв'яжіть нерівність

Розв'язання: Вводимо заміну змінних  та розв'язуємо нерівність відносно неї


Нерівність виконується за межами знайдених коренів. Тепер повертаємося до заміни і розписуємо дві нерівності


Розв'язком є два інтервали  і  .
Відповідь: